Jedna parabola może mieć kilka równoważnych wzorów. Wybór postaci decyduje o tym, czy odczytasz wynik od razu, czy zaczniesz niepotrzebnie liczyć deltę. Przećwicz, kiedy szukać miejsc zerowych, kiedy wierzchołka, a kiedy wystarczy spojrzeć na wykres.
Trzy postacie tej samej funkcji
Dla przykładu f(x) = x² − 4x + 3 zapiszesz też f(x) = (x − 1)(x − 3) oraz f(x) = (x − 2)² − 1. Pierwszy wzór pokazuje współczynniki, drugi zera 1 i 3, trzeci wierzchołek (2, −1). Po rozwinięciu nawiasów powinieneś dostać ten sam wielomian.
Zestaw dotyczy własnych ćwiczeń na poziomie podstawowym. Zakres egzaminacyjny sprawdzaj w informatorze CKE, a nie w samej liczbie zadań na tej stronie.
Siedem zadań do samodzielnego rozwiązania
- Dla f(x) = x² − 4x + 3 wyznacz zera, oś symetrii i najmniejszą wartość.
- Podaj wierzchołek g(x) = −2(x + 1)² + 8. Czy funkcja ma minimum, czy maksimum?
- Rozwiąż nierówność (x − 1)(x − 3) ≤ 0.
- Ile rzeczywistych miejsc zerowych ma h(x) = x² + 2x + 5? Uzasadnij bez rysowania przypadkowej paraboli.
- Wyznacz współczynnik a funkcji y = a(x − 2)² − 1, jeśli jej wykres przechodzi przez (0, 7).
- Prostokąt ma obwód 20 cm. Zapisz jego pole w zależności od jednego boku x i znajdź największe pole.
- Rozwiąż równanie x² − 4x + 3 = 3. Wyjaśnij, dlaczego same miejsca zerowe funkcji z zadania 1 nie są odpowiedzią.
Rozwiązania i wybór metody
1. Z postaci iloczynowej: x = 1 i x = 3. Oś ma równanie x = 2. Ponieważ a > 0, wartość w wierzchołku jest najmniejsza i wynosi −1. Wierzchołek to punkt, a najmniejsza wartość to liczba.
2. x + 1 = x − (−1), więc wierzchołek to (−1, 8). Ramiona są skierowane w dół, zatem funkcja ma maksimum równe 8, a nie minimum.
3. Iloczyn jest niedodatni między zerami, wraz z końcami: x ∈ [1, 3]. Kontrola dla x = 2 daje (1)(−1) = −1; dla x = 0 otrzymujesz 3, więc ten argument odpada.
4. h(x) = (x + 1)² + 4. Kwadrat jest nieujemny, więc h(x) ≥ 4. Funkcja ma zero rzeczywistych miejsc zerowych. Alternatywnie delta = 4 − 20 = −16.
5. Podstaw punkt: 7 = a · 4 − 1. Stąd 8 = 4a, czyli a = 2. Nie podstawiaj x = 2, bo punkt ma argument 0.
6. Drugi bok ma długość 10 − x, a dziedzina to 0 < x < 10. Pole P(x) = x(10 − x) = −(x − 5)² + 25. Największe pole wynosi 25 cm² dla boków 5 cm i 5 cm. Wartość x = 0 nie opisuje prostokąta o dodatnich bokach.
7. Po odjęciu 3 dostajesz x² − 4x = 0, czyli x(x − 4) = 0. Wyniki: x = 0 lub x = 4. Szukasz przecięć z prostą y = 3, a nie z osią x.
Sprawdź znak i sens wyniku
Najczęstsza pułapka w postaci kanonicznej dotyczy znaku w nawiasie. Wzór (x + 1)² nie daje współrzędnej 1, tylko −1. Druga pułapka to mylenie „najmniejszej wartości” z argumentem, przy którym ona występuje.
Przy nierównościach zaznacz, czy końce należą do wyniku. Dla ≤ zera należą, dla < nie należą. Gdy a < 0, nie kopiuj bez sprawdzenia reguły o znaku między zerami z paraboli o ramionach w górę. Podstaw jeden argument kontrolny.
Nowy wariant na kolejną sesję
Rozważ q(x) = −(x − 3)² + 4. Znajdź wierzchołek, maksimum, zera i przedział, na którym q(x) > 0. Wyniki: (3, 4); maksimum 4; zera 1 i 5; x ∈ (1, 5). Rozwiń wzór: q(x) = −x² + 6x − 5.
Zapisz w dzienniku, którą postać wybrałeś i dlaczego. Jeżeli obliczenia są dobre, ale interpretacja wykresu nie, wróć do ćwiczeń z funkcji liniowej i odróżnij współrzędne punktu od wartości funkcji.